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2016年第3期 总第011期 9月
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从东京穿到里约要多久?
我们要感谢安倍晋三,他给我们上了生动的一课。

  在里约奥运会的闭幕式上,发生了惊人的一幕:

  一贯坚持“钓鱼岛是日本的”的日本首相安倍晋三突然以一身“马里奥”的形象亮相,欢迎大家去日本东京参加2020年奥运会,这引发舆论关注。

  直播画面显示,安倍晋三是从地洞里钻出来的。(因为从东京到里约坐飞机需要差不多30个小时,作为首相他是很忙的,而走地洞大概只需要42分钟。)

  创意真的很不错哦。其实在物理上我们可以证明,一个理想化的地球是没有自转的均匀完美球体,如果假设地球内部的密度是均匀的,如果在地球上面挖出一个贯穿地心的真空直洞,连接两个相对的对跖点(就是这2点的连线通过球心),那么人在地心隧道里面坠落就只受重力。这样的情况下,只靠重力穿过地球的单程旅行时间是42分钟。本文作者曾经写过一个文章,题目就是《地心列车是理想还是现实 17世纪牛顿就已研究》

  但是,问题来了,东京与里约的连线并不通过地心,这个隧道其实是一条弦而不是一条直径。看起来路程短了一些,引力的情况也有所变化。

  见上图中的A东京,B里约之间的隧道不通过地心(球心),请问安倍晋三从东京穿越地洞到里约到底花了多少时间?

  这是一个有趣的问题,但对会写微分方程的读者来说,应该也不难。笔者用微分方程写了一下,发现虽然A东京,B里约之间的隧道并不通过地心,但引力在隧道AB方向的投影还是可以计算的。这里面的计算技巧就是“力的分解”,相信很多读者在高中一年级的时候是学过的:

  通过力的分解,我们只考虑在A东京,B里约的连线上引力分力作用,就可以计算出安倍晋三沿着隧道AB方向的加速度。这个加速度a的大小是:

  a = G · ρ · 4/3 · π · x

  其中x是安倍晋三离开平衡点的位移,ρ是地球的质量密度,G 是牛顿万有引力常数

  而且,安倍晋三的运动微分方程依然满足频率为ω的简谐振动方程。

  而最关键的点在于ω = sqrt( 4/3 · πGρ )与x无关,也就是说,这个角频率是一个常数,而它的倒数刻画了运动的周期。因此,虽然A东京,B里约之间的隧道不通过地心(球心),但安倍晋三从东京穿越地洞到里约还是花了42分钟。

  这件事情其实与400年前伽利略在教堂观察到的单摆的等时性是一样的:

  从这个意义上来说,如果你想得极为深远,你可以把地球上A东京,B里约的距离做一个标度变化(就好像吹气球一样把地球吹大,吹得象木星那样大也可以,前提是要保持地球的密度不变),那么安倍晋三从东京穿越地洞到里约依然是42分钟。我们可以这样说,42分钟这个时间具有“标度不变性”,这是一个极高的对称性。

  在这个意义上来说,我们要感谢安倍晋三,他给我们上了生动的一课。当然,我们也不得不承认,马里奥安倍是日本的,钓鱼岛是中国的。

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